日本の河川名を英語名で表記する際の一定の法則は定められていません。
　 これは建設省などの正式な見解ではないのですが、その川を英語名で表記する際に「語韻」を意識して表記するようです。
　 例えばご質問にあるように、多摩川は「多摩」の川というわけではなく、多摩川という川の名前を表記しているわけで、英語名にしたときに「Tamagawa River」と表記しますが、これは「タマリバー」と呼ぶより「タマガワリバー」の方が語韻が良いと判断されたからだと思います。
　 したがいまして、英語名にした際に、「River」を付けて呼んでみて語韻が変な場合は「〜gawa（又はkawa） River」で特に変にならない場合が「〜River」で別けられることになると思います。

　 ただ冒頭にも述べた通りに、決まった法則があるわけではないので、これに反する表記も見られることも考えられます。
　 そのため、「Arakawa River」は「Ara River」と表記して「アラリバー」としてしまうと語韻があまりよろしくないという観点から「Arakawa River」と表記されていると思います。 江戸川の場合も、Edoという短い語韻なのに「Edo River」と表記するのは、英語名を付ける際に、その担当の方の主観から語韻が良いと思ったからそうなったのではないかと思います。

　余談ですが、大川という川があった場合には「O River」となってしまい、ゼロリバーと読んでしまう可能性も否定できません。そういった間違えずに読めることも考慮していることもあると思います。実際の河川名の表記も「Okawa River」となっていると思います。